Historias Relacionadas: La matemática y la ciencia

Por Edgardo Remo Benvenuto Pérez, integrante del Observatorio Astronómico

La Matemática y la Aritmética
La matemática es una ciencia formal (conjunto sistemático de conocimientos racionales, coherentes y lógicos), partiendo de axiomas, postulados y razonamientos lógicos, estudia métodos, propiedades, relaciones entre distintas entidades y sistemas, por ejemplo, números, objetos, figuras, cuerpos.
La matemática tiene una belleza abstracta.
La aritmética es la parte de la matemática que estudia los números y sus operaciones. Es posible que el origen de la aritmética sea la operación natural de contar que debe hacer percibido la especie. En el 500 aC.  se inventa en China el ábaco: Figura 1
También debe haber surgido la necesidad de medir, por ejemplo, distancias, pesos. Medir es comparar, luego es imprescindible un patrón de comparación. Los egipcios usaban balanzas de comparación hace aprox. 3000 aC.: figura 2.

                            Figura 1: Abaco romano                                   Figura 2: Balanza egipcia

Los métodos de medición y los patrones fueron un caos porque cada lugar tenía el propio, recién en 1799 durante la Revolución Francesa, la Academia crea el Sistema Métrico Decimal y los patrones de longitud metro m y de masa kilogramo kg.
La aplicación de la aritmética y la matemática a los sistemas naturales es fundamental e imprescindible, su lenguaje permite expresar leyes de la Naturaleza cuya validez se verifica por experiencias objetivas (con mediciones).
La lógica juzga y mucho más la objetiva.
No se deben omitir los conceptos fundamentales de sistema y modelo.
* sistema: parte o porción del Universo que se elige para estudiar, el resto es el medio ambiente.
* modelo: hipótesis, suposición, teoría, propuesta sobre, por ejemplo, estructura, constitución, propiedades, comportamiento de un sistema.
Se enumeran algunos matemáticos célebres desde la antigüedad:
* Thales de Mileto (624-546 aC.)   Geometría. Teorema de Thales.
* Pitágoras (571-510 aC.) Teorema del triángulo rectángulo.
* Euclides de Alejandría (365-300 aC.)  Geometría.
* Arquímides de Siracusa (287-212 aC.) Perímetro / Diámetro = π.  Física.
* Aryabhata (476-559) Inventa el cero.
* Al Juarismi (780-840) Ecuaciones lineales y cuadráticas.
* Johannes Kepler (1571-1630) Polígonos y poliedros. Leyes de Kepler.
* Pierre de Fermat (1607-1665) Teoría de los números. Cálculo de probabilidades y diferencial.
* René Descartes (1596-1650) Trigonometría. Coordenadas cartesianas.
* Gottfried Leibniz (1646-1716) Cálculo infinitesimal.
* Isaac Newton (1642-1727) Binomio de Newton.  Cálculo infinitesimal.
* Leonhard Euler (1707-178) Logaritmo natural   (ln) e.
* Joseph Lagrange (1736-1813) Puntos de equilibrio en astronomía.
En el siglo XIX, las matemáticas se separan como una ciencia formal de otros temas, principalmente de la Física, desarrolla gran cantidad y calidad de conocimientos porque la lógica y los genios no tienen límites.
En los sistemas naturales la aplicación de las matemáticas es imprescindible y fundamental, también las operaciones o procesos experimentales de contar o medir.

Contar o medir. Magnitud.
Son fundamentales los conceptos y operaciones de contar el número de especies o de medir cualquier propiedad de un sistema.
Definimos especie cómo cualquier sistema, cuerpo, objeto que se identifica (con un nombre) y se puede contar directamente y/o indirectamente por un proceso de medición.
Cualquier propiedad medida de un sistema mediante un proceso de medición se llama magnitud X.
Una propiedad identificada y clasificada (evaluación cualitativa) se compara con una unidad patrón convencional y arbitraria [u] de la misma clase que tiene un nombre, el número que resulta de la comparación o relación propiedad/unidad patrón es el valor numérico de la propiedad en la unidad elegida [u] (evaluación cuantitativa). El Sistema Internacional elige patrones de unidades [u].
X (magnitud) = Propiedad / Unidad patrón [u] =
= Número [valor] [u] (con desconfianza o incertidumbre)
El Sistema Internacional de Unidades SI se acordó en 1960 para intentar unificar los patrones en el mundo. Se revisan periódicamente, actualmente hay 7 unidades fundamentales. 
La figura 3 muestra las 7 unidades fundamentales.
                                                                
                                            Figura 3: Sistema Internacional de Unidades

                                                                                          
El número, valor numérico, cantidad, es muy importante porque indica el resultado del proceso de medición. Una magnitud siempre tiene desconfianza o incertidumbre conocida o desconocida.
Cuando el valor de una propiedad es el resultado de una única medición, éste es una estimación puntual de alta desconfianza. Para disminuir la incertidumbre o desconfianza del resultado es necesario obtener la magnitud midiendo más de una vez (3 o más) y aplicar Estadística.
Por la desconfianza o incertidumbre de los resultados, el término “exacto” es incorrecto, se reemplaza por el concepto del valor más probable o con menor desconfianza o incertidumbre.
Si un sistema está formado por un número de especies pequeño  el resultado de contar directamente las especies es un valor exacto (por ejemplo, el número o cantidad de palabras del párrafo anterior: 28), pero cualquier medición de una propiedad no lo es. El valor obtenido al medir una propiedad es distinto según la unidad usada y siempre con desconfianza o incertidumbre, mientras que el número que resulta de contar directamente especies identificadas es siempre entero (sin incertidumbre) y el valor es único: 
                                                                      X = No. (entero) especies

Las ciencias y el método científico
En cualquier tema, explícita o implícitamente se elige un sistema para estudiar o analizar.
La clasificación de Ciencia exige la aplicación a un sistema del método científico (G.Galilei, 1564-1642). Cualquier hipótesis, modelo, únicamente tiene validez o significado si es verificada, y no es refutada (K.Popper, 1902-1994), por experiencias cuantitativas (en las condiciones de la experiencia las cuales siempre se deben indicar) con fundamentación matemática.
Método científico significa estudiar un sistema, en general, según la siguiente secuencia: observación, análisis cualitativo, clasificación, análisis cuantitativo (mediciones experimentales), hipótesis o modelo, fundamentación matemática, ley natural, verificación experimental.
No se debe omitir el concepto fundamental de modelo: propuesta sobre un sistema parcial y transitoria, parcial porque se refiere a una parte del sistema, transitoria porque es válida mientras se verifica y no es refutada experimental y/o teóricamente. Cada modelo justifica y/o explica, por ejemplo, algunas propiedades, comportamientos, fenómenos, de un sistema, pero no otras ni todas, los modelos son parciales y transitorios, tienen un rango, límite, condiciones de validez o aplicación, incertidumbre o desconfianza conocida. Las experiencias cuantitativas (mediciones con desconfianza) son la única forma de verificación de un modelo, es válido mientras ninguna experiencia lo refute, los resultados experimentales deben ser coherentes con los que se obtienen o predicen con el modelo (método científico).
El método científico es hipotético, experimental, deductivo.
Una ley natural es una ecuación matemática que expresa una relación entre magnitudes. Cualquier aseveración, afirmación, ley natural que no se verifica experimentalmente con mediciones no tiene significado o sentido, es una hipótesis o modelo a verificar.
Una característica de los modelos es que exigen demostraciones matemáticas de distinta complejidad, sin fundamentos matemáticos los modelos no tienen validez.
Los sistemas que se pueden calificar como Ciencias Naturales son, por ejemplo, Astronomía, Física, Química. Las Ciencias Naturales no son exactas, siempre en las mediciones existe desconfianza o incertidumbre, en general, conocida.
En sistemas con mediciones de alta desconfianza o difíciles de obtener, las teorías o modelos son subjetivos, no son verificables, no predicen comportamientos o fenómenos, son especulaciones sin verificación, no tienen demostraciones matemáticas. Si se realiza alguna medición, la desconfianza o incertidumbre es muy elevada. Hay sistemas en los cuales es muy difícil realizar mediciones (o no se pueden realizar, existen pero no se pueden medir, son subjetivas) estos sistemas en los que no se aplica el método científico no son ciencias, son estudios, ensayos sin certezas, predicciones ni cálculos.
Una aplicación de la Estadística a las “Ciencias Sociales“: hay 100 personas y 50 comen cada una 1 pollo, la estadística dice que se comen 0,5 pollos por persona, pero 50 personas no comieron.

De las matemáticas se deducen sistemas desconocidos y no imaginados que luego se intentan verificar experimentalmente y viceversa, fenómenos y resultados experimentales no conocidos ni previstos originan teorías que proponen sistemas desconocidos que justifican la experiencia conocida.
Se enumeran ejemplos que de datos experimentales, la matemática propone teorías, modelos y/o sistemas desconocidos que justifican el fenómeno conocido:
* la ley de gravitación universal de Newton por las leyes de Kepler.
* el descubrimiento de Neptuno por los datos de la órbita de Urano.
* la teoría especial de la relatividad especial (c = cte) de Einstein por la medición del “viento del éter”.
* el cuánto de Planck de la radiación electromagnética por la radiación térmica de un cuerpo negro.
* el modelo cuántico-clásico de Bohr por el espectro de rayas de átomo de H.
* el modelo cuántico - ondulatorio de Schrödinger por el comportamiento dual de la radiación electro- magnética y las ondas de materia de De Broglie.
Se enumeran ejemplos de sistemas desconocidos y no imaginados que las matemáticas propone y la experiencia verifica:
* el modelo de Maxwell de propagación de una “Onda ElectroMagnética” que demuestra que la luz “es una Onda ElectroMagnética”.
* la ecuación de Einstein ∆E = ∆m . c2, que se deduce matemáticamente en la teoría especial de la  relatividad.
La figura 4 muestra la portada del Times en 1946. La fundamentación de la bomba nuclear es la ecuación de Einstein, transformación de masa en energía, pero Einstein estuvo siempre en contra de la atroz decisión de arrojarla sobre ciudades.

                                             Figura 4: portada del Times en 1946

* el modelo cuántico-ondulatorio de Dirac que propone la existencia de antipartículas, por ejemplo,  positrón e+, protón negativo p-, luego detectados experimentalmente.
* el modelo estandar de partículas que propone la existencia del bosón de HIggs, detectado en el Gran Colisionador de Hadrones de 27 Km de perímetro. La figura 5 muestra el Gran Colisionados de Hadrones.

                                                                   Figura 5

Un ejemplo de la aplicación de las Matemáticas en las Ciencias es la teoría especial de la relatividad,  después de proponer sus postulados, Einstein estuvo mucho tiempo trabajando con colaboradores amigos y extraños hasta obtener la fundamentación matemática de su teoría.
Los científicos intentan justificar, explicar, aclarar sistemas y fenómenos complejos proponiendo modelos, en general, simples y, por lo tanto, parciales y transitorios, los otros todo lo contrario (P.A.M.Dirac).
Los sistemas en los que no se aplica el método científico no son ciencias, son estudios, ensayos sin certezas, predicciones ni cálculos.